Las referencias son al Handbook of Categorical Algebra Vol. 1.

1. 2.11.1 Definición de functor final.

2. Prop 2.11.2. Condición suficiente para ser functor final.

3. Prop. 2.11.3. Corolario de lo anterior.

4. Recordar la definición de coma-categoría. Observar que si $F\colon\mathcal A\to\mathcal C\leftarrow\mathcal B\colon G$ son functores con coma-categoría

   $$ \mathcal A\xleftarrow{P}F\downarrow G\xrightarrow{Q}\mathcal B $$

   hay una transformación natural $\tau\colon FP\Rightarrow QG$ con componentes

   $$ \tau_{(A,f,B)}=f\colon FA\to GB. $$

   Dado un functor $H\colon \mathcal X\to F\downarrow G$ tenemos $\mathcal A\xleftarrow{PH}\mathcal X\xrightarrow{QH}\mathcal B$ y $\tau H\colon FPH\Rightarrow GQH$.

   (Esto define una biyección entre los functores $H\colon \mathcal X\to F\downarrow G$ y las ternas $(H_1,\alpha,H_2)$ donde $H_1\colon\mathcal X\to\mathcal A$, $H_2\colon\mathcal X\to\mathcal B$ y $\alpha\colon FH_1\Rightarrow GH_2$. Pero capaz que no es necesario decirlo)

5. Prop. 2.16.1. Pero mejor con el siguiente enunciado.

   Sean $F\colon\mathcal A\to\mathcal C\leftarrow\mathcal B\colon G$ y $D\colon\mathcal J\to\mathcal F\downarrow G$ tal que el ímite de $PD$ existe (en $\mathcal A$) y es preservado por $F$ y el límite de $QD$ existe (en $\mathcal B$) y es preservado por $G$. Entonces existe el límite de $D$ y es preservado por $P$ y $Q$.

6. Definir $\phi_F\colon \mathsf{el}(F)\to\mathcal A$ para un functor $F\colon\mathcal A\to\mathbf{Set}$ como la coma-categoría de

   $$ 1\xrightarrow{1}\mathbf{Set}\xleftarrow{F}\mathcal A $$

   y dar descripción explícita (la que está en Def. 1.6.4)

7. Cor 2.16.2, pero con el enunciado siguiente.

   Si $F\colon\mathcal A\to\mathbf{Set}$ preserva el límite de $\mathcal J\xrightarrow{D}\mathsf{el}(F)\xrightarrow{\phi_F}\mathcal A$, entonces existe el límite de $D$ y es preservado por $\phi_F$.

8. Prop. 3.3.1.

9. Def. 3.3.2, solution set condition (condición del conjunto solución?).

10. Thm 3.3.3, teo del functor adjunto.

11. Ejemplo: $U\colon \mathbf{CHaus}\to\mathbf{Top}$ tiene adjunto a izquierdo (compactificación de Stone-Čech). Primero, $\mathbf{CHaus}$ es cerrado por productos e igualadores en $\mathbf{Top}$, así que es completa y $U$ es continuo.

    Para usar el teorma del functor adjunto, dado un espacio $X$, tenemos que dar el solution set $S_X$. Va a ser un conjunto de los espacios compactos Hausdorff $A$ que admiten un mapa continuo $f\colon X\to A$ con imagen densa y con conjunto subyacente un cardinal.

    • Notamos que toda $f\colon X\to U(A)$ se factoriza como $f\colon X\to \overline{f(X)}$ seguido de $\overline{f(X)}\hookrightarrow A$ y que la imagen de $f$ es densa en $\overline{f(X)}$, que además está en $\mathbf{CHaus}$.

    • Alcanza con encontrar un conjunto $S_X$ de espacios compactos Hausdorff tal que todo otro espacio compacto Hausdorff $A$ que admite $f\colon X\to A$ con imagen densa es isomorfo a uno de $S_X$.

    • Primero vemos que si $A$ es como arriba, entonces $|A|\leq \kappa\coloneqq 2^{2^{|X|}}$. Dada $f\colon X\to A$ con imagen densa, definimos $\theta\colon A\to \mathcal P\mathcal P(X)$

      $$ \theta(a)=\{T\in \mathcal P(X):a\in\overline{f(T)}\}. $$

      Si $a\neq b$, hay abiertos disjuntos $a\in U$, $b\in V$. Entonces, $a\in \overline{f(f^{-1}(U)))}$, por lo que $f^{-1}(U)\in\theta(a)$. Similarmente, $f^{-1}(V)\in\theta(V)$, pero $f^{-1}(U)\neq f^{-1}(V)$ (tienen intersección vacía pero ambos son no vacíos). Entonces $\theta(a)\neq\theta(b)$.

    • Todo espacio topológico $A$ es isomorfo a uno cuyo conjunto subyacente es $|A|$. Simplemente trasladando la topología a través de la biyección.

    • Tomamos el conjunto $\mathcal U$ de espacios topológicos $(\lambda,\mathcal T)$ donde $\lambda\leq \kappa$ es un cardinal y $\tau$ es una topología sobre $\lambda$. Esto es obviamente un conjunto pues

      $$ \{\mathcal T\in\mathcal P\mathcal P(\lambda):\mathcal T\text{ topología, }\lambda\leq \kappa\}\subset\mathcal P(\kappa). $$

    • Concluímos que el “conjunto” $S_X$ de los espacios topológicos compactos Hausdorff basados en un cardinal $\leq \kappa$ que adminten $f\colon X\to A$ con imagen densa es un subconjunto de $\mathcal U$, y por lo tanto un conjunto.

12. $\mathbf{CHaus}\to\mathbf{Set}$ es adjunto a derecha, pues es composición de adjuntos da derecha.

13. $U\colon\mathbf{Grp}\to\mathbf{Set}$ tiene adjunto a izquirda, sin construirlo 🙂. Dado un conjunto $X$, el solution set $S_X$ consiste de los grupos $K$ que tienen un generador de cardinal $\leq |X|$. Si $K\in S_X$, tenemos $(2\times X)^*\to K$ del conjunto de palabras con letras $2\times X$ en $K$ que manda

    $$ ((i_1,x_1),\dots,(i_n,x_n))\mapsto x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} $$

    ($i_j\in 2=\{-1,1\}$). Esta función es sobre. De modo que los grupos en $S_X$ tienen cardinal menor que un cierto cardinal fijo $\kappa$. Cada $\lambda<\kappa$ tiene a lo más $\lambda\times \lambda^{\lambda^2}$ estructuras de grupo, así que $S_X$ tiene a lo más $|\amalg_{\lambda<\kappa} \lambda \times\lambda^{\lambda^2}|$ grupos, a menos de isos.

    Claramente toda $f\colon X\to U(G)$ se factoriza a través de $\langle f(X)\rangle\hookrightarrow G$, y $\langle f(X)\rangle\in S_X$.

14. Sea $\mathbb T$ una teoría dada por operaciones y ecuaciones y $\mathsf{Mod}(\mathbb T)$ la categoría de modelos de $\mathbb T$ en conjuntos. El mismo razonamiento de arriba muestra que vale para $\mathsf{Mod}(\mathbb T)\to\mathbf{Set}$ tiene adjunto a izq. Ejemplos de teorías son: grupos, grupos abelianos, anillos, módulos sobre un anillo, álgebras de lie, etc.

Esto no va

El Teorema especial del functor adjunto, creo que es mejor hacerlo cuando hay un objeto cogenerador. Ya que en la pecensia de productos, si $(G_i)$ es una familia que cogenera, entonces $\prod_iG_i$ es un objeto cogenerador.

1. Def. de cogenerador. Un objeto $G\in\mathcal C$ es un cogenerador si $\mathcal C(-,G)$ es fiel.

2. Si $G$ es cogenerador, el morfismo $m\colon A\to G^{\mathcal C(A,G)}$ que compuesto con la proyección $p_f$ es igual a $f\colon A\to G$, es mono.

   Como $\mathcal C(-,G)\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ es fiel, refleja epis. Alcanza ver que $\mathcal C(m,G)$ es sobre. Pero esto es

   $$ \mathcal C(m,G)\colon \mathcal C(G^{\mathcal C(A,G)},G)\to\mathcal C(A,G) $$

   que sabemos que envía a $p_f$ en $p_fm=f$, para todo $f\colon A\to G$. De modo que es sobre.